Bài Tập Bất Đẳng Thức Cosi Có Lời Giải

     

Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi nhớ và các dạng bài tập hay gặp

Bất đẳng thức Cô-si tốt bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân của n số thực ko âm. Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ reviews về một số trong những kiến thức buộc phải nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một trong những dạng bài tập hay gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI




Bạn đang xem: Bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn sẽ xem: Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi ghi nhớ và các dạng bài tập thường xuyên gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM.

Xem thêm: Thông Tin Lịch Chiếu Ngày Phát Sóng Đấu Phá Thương Khung Phần 5 Bao Giờ Ra Mắt



Xem thêm: Khẩu Lệnh Tập Hợp Hàng Ngang Lớp 11, Khẩu Lệnh Dóng Hàng Ngang Và Điểm Số Hàng Ngang

Có nhiều phương pháp để chứng minh bđt này tuy thế hay độc nhất là cách minh chứng quy hấp thụ của Cauchy.


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân của n số thực ko âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cùng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bởi trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bằng nhau.

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b

– Bất đẳng thức Cô si mê với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

2. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0 và ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 vừa lòng điều kiện 

*
. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ còn khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán dành được dấu bởi khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng cách thức làm trội làm sút như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô ham cho tía số a, b, c ko âm có:

*

Tương từ bỏ ta có 

*
 và 
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của những biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: thay đổi đổi 

*
 rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: chuyển đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, hội chứng minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô tê mê cho cha số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý sử dụng cách thức làm trội)