BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC COSI

     

Trong bài viết này, công ty chúng tôi sẽ share tới chúng ta lý thuyết về bất đẳng thức Cosi và những dạng bài tập bất đẳng thức Cosi thường gặp từ cơ bạn dạng đến cải thiện trong những đề thi trung học càng nhiều và đại học.

Bạn đang xem: Bài tập bất đẳng thức cosi


Bất đẳng thức cosi

Trong nghành nghề dịch vụ toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để làm chỉ bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cộng và mức độ vừa phải nhân của n số thực không âm. Trả sử a1 ,a2,…, an là những số thực bất kể và b1, b2,…, bn là các số thực dương.

Xem thêm: Lý Thuyết Lịch Sử 12 Bài 12 Lý Thuyết Sử 12: Bài 12, Lý Thuyết Sử 12: Bài 12

Khi đó, ta luôn có:

*


Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi

*

Bất đẳng thức cosi mang đến 2 số ko âm

*

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức cosi mang đến 3 số ko âm

*

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức cosi đến 4 số không âm

*

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Bất đẳng thức cosi mang đến n số ko âm

Với x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, lúc ấy ta có

*

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Dạng bao quát của bất đẳng thức cosi

Cho x1,x2,..,xn là các số thực dương ta có:

*

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 =… = xn

Cho x1,x2,..,xn là những số thực âm ta có:

*

Dấu đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Các bất đẳng thức cosi quánh biệt

*

Hệ trái của bất đẳng thức Cosi

*

Tham khảo:

Bài tập về bất đẳng thức cosi

Dạng 1: vận dụng trực tiếp BĐT côsi

Ví dụ1: cho a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Minh chứng rằng (a+b)5 ≥ 16ab √(1+a2)(1+b2)

Lời giải:

Ta có (a+b)5 = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3)

Áp dụng BĐT cosi ta có:

a2 + 2ab + b2 ≥ 2√2ab(a2 + b2) = 4√ab

(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) ≥ 2√(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) = 4√ab (1 + b2)(a2 + 1)

=> (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3) ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1)

=> cho nên vì thế (a + b)5 ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1) điều đề nghị chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Ví dụ 2: cho 2 số ko âm a, b. CHứn minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi mang lại 2 số thực không âm ta có:

*

=> (1 + b)(1 + ab) ≥ 2√ab.2√ab = 4ab DPCM

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = 1

Dạng 2: kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

Phương pháp:

Để minh chứng BĐT ta hay phải biến hóa (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để tạo biểu thức rất có thể giản mong được sau khoản thời gian áp dụng BĐT côsi.Khi chạm chán BĐT gồm dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều nên chứng minh.Khi bóc và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bởi xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi những biến đều nhau hoặc trên biên).

Xem thêm: Soạn Văn 8 Nước Đại Việt Ta Ngắn Nhất, Soạn Bài Nước Đại Việt Ta Ngắn Nhất

Ví dụ 1: đến a, b, c là số dương thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải

*

Sau khi hiểu xong nội dung bài viết của cửa hàng chúng tôi các bạn cũng có thể nắm được triết lý về bất đẳng thức cosi và các dạng bài xích tập bất đẳng thức cosi nhé