BẢNG ĐẠO HÀM CẤP CAO

     
Bài viết này giayphutyeuthuong.vn trình làng đến các bạn đọc phương pháp Tính đạo hàm với vi phân cấp cao của hàm số

*

1. Một vài công thức đạo hàm cao cấp của hàm số thường xuyên gặp

$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$

2. Bí quyết Lepnit tính đạo hàm v.i.p của hàm số tích

Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ tất cả đạo hàm đến cung cấp $n$ lúc đó $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$

3. Những ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$

Do đó $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong số ấy $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$

Câu 4.

Bạn đang xem: Bảng đạo hàm cấp cao

Tính đạo hàm cấp cao $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$

Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$

Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$

Câu 5. Tính đạo hàm v.i.p $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$

Bước cuối độc giả thay dạng lượng giác số phức vào nhằm rút gọn.

Xem thêm: Tài Liệu, Bài Thu Hoạch Bồi Dưỡng Thường Xuyên Module Thpt12

Cách 2:Ta gồm $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp cho n nhị vế có:

$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$

Câu 6. Tính đạo hàm v.i.p $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$

Do đó $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và

$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$

Hiện tại giayphutyeuthuong.vn thi công 2 khoá học Toán thời thượng 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường:

Khoá học hỗ trợ đầy đủ kiến thức và kỹ năng và phương thức giải bài bác tập các dạng toán kèm theo mỗi bài bác học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng trường đoản cú luận tất cả lời giải cụ thể tại website để giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán thời thượng 1 với Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Xem thêm: Mẫu Giấy Ủy Quyền Lấy Bằng Tốt Nghiệp Thay Mới Nhất Năm 2022

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu đương Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH tài chính ĐH nước nhà Hà Nội

và những trường đại học, ngành tài chính của các trường ĐH không giống trên khắp cả nước...