Đề cương ôn tập toán 11 học kì 2

     

Tổng hợp kỹ năng cần cầm vững, các dạng bài tập và câu hỏi có kĩ năng xuất hiện tại trong đề thi HK2 Toán học tập 11 sắp tới tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói hàng số (left( u_n ight)) có số lượng giới hạn là số thực (L) trường hợp (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: đề cương ôn tập toán 11 học kì 2

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) cùng (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) trường hợp (u_n ge 0) với tất cả (n) thì (L ge 0) với (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) cùng (c) là một hằng số. Lúc đó:

i) những dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) với (left( c.u_n ight)) có giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) nếu như (M e 0) thì dãy số (left( fracu_nv_n ight)) có giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số dãy số gồm giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) giả dụ (left| q ight| Chú ý: Định lý trên vẫn chuẩn cho trường thích hợp (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các luật lệ tìm giới hạn vô cực của hàm số

+) giả dụ (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng K với (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được hotline là liên tiếp tại (x_0) ví như (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

Hàm số đa thức tiếp tục trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và những hàm lượng giác thường xuyên trên từng khoảng tầm của tập xác minh của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, yêu quý của hai hàm số liên tiếp tại (x_0) là hầu như hàm số liên tục tại (x_0) (trường phù hợp thương thì mẫu yêu cầu khác 0 trên (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tiếp trên (left< a;b ight>) và f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc vẫn học nhằm tính.

- Nếu số lượng giới hạn của hàm số phải tính có 1 trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta cần khử dạng đó, bởi cách phân tích tử và mẫu mã thành nhân tử rồi giản cầu hoặc nhân lượng liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu đến xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu...

Xem thêm: Tả Khu Vườn Nhà Em Lớp 6 - ❤️️ 16 Bài Văn Mẫu Hay Nhất

Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- trường hợp tử, chủng loại là hầu như đa thức thì ta để thừa số (left( x - x_0 ight)) làm nhân tử tầm thường và rút gọn gàng nhân tử này ta sẽ gửi được số lượng giới hạn về dạng xác định.

- nếu tử tốt mẫu gồm chứa căn thức thì nhân tử và mẫu mã với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu mã và cũng rút gọn gàng thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và mẫu mã ta sẽ chuyển được số lượng giới hạn về dạng xác định.

Cần chăm chú các công thức thay đổi sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ nếu PT f(x) = 0 gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- phân chia cả tử với mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.

- sau đó dùng các định lý về số lượng giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương cùng giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- nếu (x o x_0) thì ta quy đồng mẫu số để lấy về dạng (frac00).

Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và phân tách với lượng liên hợp để lấy về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số đổi khác như đưa thừa số vào trong vệt căn, quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã mang lại về dạng thân quen thuộc.

Ví dụ: Tìm số lượng giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- sử dụng công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn cùng với (u_1 = - 1) cùng q = ( - frac110).

Xem thêm: Mẫu Giấy Bổ Nhiệm Phó Giám Đốc 2022, Mẫu Quyết Định Bổ Nhiệm Phó Giám Đốc Công Ty 2021

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tiếp của hàm số

3.1 Xét tính thường xuyên của hàm số trên điểm:

- Dạng I: cho h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính tiếp tục của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: kiếm tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tiếp tại x0

- Dạng II: mang lại h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính tiếp tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tiếp của h/s trên những khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện của tham số nhằm hàm số thường xuyên tại x0

Phương pháp chung:

B1: tìm kiếm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số liên tiếp tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính thường xuyên của hàm số để minh chứng phương trình bao gồm nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT gồm nghiệm bên trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: khám nghiệm tính liên tục của hàm số f(x) trên (left< a;b ight>)

B3: tóm lại về số nghiệm của PT trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có tối thiểu một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) liên tục trên R đề xuất f(x) tiếp tục trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)