Giải Hình Học Không Gian Bằng Phương Pháp Tọa Độ

     

Gắn hệ trục toạ độ vào hình không gian để giải toán đôi khi là lao lý vô cùng bổ ích đối cùng với những câu hỏi khó trong ko gian. Tuy nhiên, câu hỏi gắn trục toạ độ thế nào để thuận lợi tìm được toạ độ những điểm trong hình thì đối với nhiều học sinh tương tự như giáo viên đôi lúc trở lên phức tạp.

Bạn đang xem: Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Phức tạp ở đó là khi dạy học sinh gắn toạ độ trong ko gian, giáo viên cố gắng hướng dẫn học viên gắn trục Oz vào đường cao của hình chop tương tự như khối trụ. Điều này là hết sức thừa thãi và không nên thiết, vì chưng trục Oz lại là trục ko dung đến lúc giải theo cách thức này.

Chúng tôi ra mắt với các em học sinh và giáo viên phương thức gắn toạ độ vô cùng dễ dàng và đơn giản và tác dụng trong giám sát và đo lường trong đó thậm chí là không cần vẽ trục Oz vào hình.

Bước 1: chọn hệ trục toạ độ (Oxyz)

Chọn Ox cùng Oy là 2 mặt đường vuông góc với nhau nghỉ ngơi đáy, O là giao của nó: việc này vô cùng đơn giản và dễ dàng bởi mọi đáy đều có thể chọn được, chẳng hạn như:

§ Tam giác: đính thêm vào đường cao và cạnh đáy tương ứng

§ Hình chữ nhật, vuông: gắn vào 2 cạnh

§ Hình thoi: tích hợp 2 mặt đường chéo

§ Hình thang vuông: tích hợp 2 cạnh góc vuông

Oz không bắt buộc vẽ vào: nếu vẽ thì nó kẻ từ O và song song với con đường cao.

Bước 2: xác định toạ độ những điểm có tương quan (có thể xác minh toạ độ tất cả các điểm hoặc một trong những điểm yêu cầu thiết)

Liệt kê toạ độ những điểm sống đáy: Vô cùng tiện lợi vì ta trả toàn cai quản hình dạng và kích thước đáy.

Tìm toạ độ các điểm bên trên cao, lơ lửng: đưa ra quyết định bởi toạ độ chân đường cao H

§ trả sử toạ độ H(a;b;0) đã tìm được ở đáy

§ Thì toạ độ đỉnh S (hoặc điểm gồm H là hình chiếu) là S(a;b;h) với h là con đường cao của hình chop hoặc trụ đã phải kiếm được trước đó

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để xử lý bài toán

Các dạng toán hay gặp:

· Độ lâu năm đọan thẳng

· khoảng cách từ điểm đến lựa chọn mặt phẳng

· khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

· khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng

· Góc giữa hai đường thẳng

· Góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng

· Góc giữa hai khía cạnh phẳng

· Thể tích khối nhiều diện

· diện tích thiết diện

· chứng tỏ các quan hệ tuy nhiên song , vuông góc

· việc cực trị, quỹ tích

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Hình chóp tam giác

Dạng 1. Dạng tam diện vuông

Ví dụ 1: mang đến hình chóp (O.ABC) gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng đôi một. điện thoại tư vấn (M) là điểm thắt chặt và cố định thuộc tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến các (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight))(1), (2), (3). Quý hiếm (a,b,c) nhằm thể tích khối chóp (O.ABC)nhỏ duy nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a; m 0; m 0 ight)), (Bleft( 0; m b; m 0 ight)), (Cleft( 0; m 0; m c ight)).

(dleft< M, m left( OAB ight) ight> m = m 3)( Rightarrow )(z_M = 3). Tựa như ( Rightarrow )(Mleft( 1;,,2;,,3 ight)).

PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). Vì(M in (ABC)) Þ(frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).

(V_O.ABC = frac16abc) (2).

((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27).

(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).

Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)

Dạng 2. Dạng tứ diện gồm một cạnh vuông góc một phương diện tại góc nhọn của tam giác vuông

Ví dụ 2: Tứ diện (S.ABC) gồm cạnh (SA) vuông góc với đáy và (Delta ABC) vuông tại (C). Độ dài của các cạnh (SA = 4), (AC = 3), (BC = 1). Hotline (M) là trung điểm của cạnh (AB), (H) là vấn đề đối xứng của (C) qua (M). Tính góc(alpha ) là góc phẳng nhị diện (left< H,,SB,,C ight>) (tính mang lại độ, phút, giây)

(alpha = 82^o35"57""). B. (alpha = 97^o24"2""). C. (alpha = 63^o30"). D. (alpha = 15^o14"13"").

Hướng dẫn giải

*

Cách 1:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như hình vẽ: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( 1;,3;,0 ight)); (Cleft( 0;,3;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,4 ight)) với (Hleft( 1;,0;,0 ight))

Dựng mp(left( p. ight)) qua (H) vuông góc (SB) tại (I) giảm đường thẳng (SC) trên (K), thường thấy (left< H,,SB,,C ight>)=(left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight))(1)

* search toạ độ véc tơ

·(overrightarrow SB = left( 1;,3;, - 4 ight))(overrightarrow SC = left( 0;,3;, - 4 ight)),

* Phương trình tham số đường thẳng (SB:left{ eginarraylx = 1 + t\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), (SC:left{ eginarraylx = 0\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), phương trình mp (left( p. ight):x + 3y - 4z - 1 = 0)

* search toạ độ giao điểm (I = SB cap left( p ight))(K = SC cap left( p ight))Þ(Ileft( frac1726;frac5126;frac1813 ight)) , (Kleft( 0;frac5126;frac1813 ight)). Toạ độ véctơ (overrightarrow IH = left( frac926; - frac5126; - frac1813 ight)), (overrightarrow IK = left( - frac1726;0;0 ight)).

·(cos alpha = cos left< H,,SB,,C ight> = cos left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight) = fracoverrightarrow IH .overrightarrow IK left) =(frac - frac153676frac3sqrt 442 26.frac1726 approx - 0.1427)

·(alpha = 98^o12"13"")

Cách 2:

- gắn thêm Ox = CA, Oy = CB. Không buộc phải Oz thì ta tất cả ngay (C(0;0;0)); A(3;0;0); B(0;1;0). Tất cả h = 4 và A là chân đường cao cần S(3;0;4).

- H đối xứng cùng với C qua M bắt buộc H = B + A – C = (3;1;0).

- bây chừ ta thấy rõ phát minh của giải pháp đặt này. Trục Oz không tồn tại vai trò gì nhưng mà là chiều cao h. Độ cao h ta buộc phải tính được mặc dù ta gồm làm theo phương thức gắn toạ độ giỏi không.

Dạng 3. Dạng hình chóp tam giác hồ hết (S.ABC):

Giả sử cạnh tam giác đều bằng (a) và con đường cao bằng (h). điện thoại tư vấn (O) là tâm tam giác gần như (ABC).

Cách 1:

Trong (mpleft( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc với (OA). Đặt (SO = h), lựa chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

(Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0;0;h ight)). Suy ra toạ độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight))

*

Cách 2:

- gắn Ox = IA, Oy = IB thì tiện lợi liệt kê toạ độ những điểm dưới đáy, khôn xiết đẹp và là những số nguyên: (A(fracsqrt 3 a2;0;0)); (B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là trung tâm tam giác ABC bắt buộc (O(fracsqrt 3 a6;0;0))

- gồm O là hình chiếu của S cần (S(fracsqrt 3 a6;0;h)): Rõ rang ta đâu cần đến Oz !!!

2. Hình chóp tứ giác

Dạng 1. Hình chóp (S.ABCD) bao gồm cạnh (SA ot left( ABCD ight)) và đáy (ABCD) là hình vuông vắn (hoặc hình chữ nhật): Ta lựa chọn hệ trục toạ độ như dạng tam diện vuông

*

Chọn như hình vẽ là thuận lợi nhất

Dạng 2. Hình chóp tứ giác hồ hết (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình vuông vắn (hoặc hình thoi) chổ chính giữa (O) và gồm đường cao (SO ot left( ABCD ight)):

Ta lựa chọn hệ trục toạ độ: Tia (OA), (OB), (OS) theo lần lượt là (Ox), (Oy), (Oz). Mang sử số đo (SO = h), (OA = a), (OB = b) thì ta tất cả toạ độ (Oleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( a;,0;,0 ight)), (Bleft( 0;,b;,0 ight)), (Sleft( 0;,0;,h ight)) Þ(Cleft( - a;,0;,0 ight)), (Dleft( 0;, - b;,0 ight)).

*

Dạng 3. Hình chóp (S.ABCD) tất cả đáy (ABCD) là hình chữ nhật và có cạnh (AB = b), tam giác (SAD) số đông cạnh (a) với mp(left( SAD ight) ot left( ABCD ight))

*

Cách 1: lắp toạ độ như hình vẽ. Đây là cách cố gắng gắn vào chân đường cao để sở hữu Oz.Ta call (H)là trung điểm (AD), vào (left( ABCD ight)) ta vẽ tia (Hy ot AD). Ta lựa chọn hệ trục toạ độ (Hxyz): (Hleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( fraca2; m0;0 ight)), ( mBleft( fraca2; mb;0 ight)), ( mCleft( - fraca2; mb;0 ight)), ( mDleft( - fraca2; m0;0 ight)), ( mSleft( 0; m0;fracasqrt 3 2 ight))

Cách 2:

- gắn thêm Ox=DC; Oy=DA như hình thì D(0;0;0), C(b;0;0) ; A(0;a;0); B(b;a;0); (H(0;fraca2;0)) bởi là trung điểm DA.

- H là hình chiếu của S và con đường cao chóp là (fracasqrt 3 2) phải (S(0;fraca2;fracasqrt 3 2))

3. Hình lăng trụ đứng

Dạng 1. Hình lập phương (ABCD.A"B"C"D") cạnh bởi (a):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;a;0)), ( mD(0;a m;0)); (A"(0;0;a)), (B"(a;0;a)), (C"(a;a;a)), ( mD"(0;a m;a m))

*

Dạng 2. Hình hộp chữ nhật (ABCD.A"B"C"D") cạnh(AB = a), (AD = b), (AA" = c):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;b;0)), (D m(0;b m;0)); (A"(0;0;c)), (B"(a;0;c)), (C"(a;b;c)), (D" m(0;b m;c))

*

Dạng 3. Hình vỏ hộp đứng đáy hình thoi (ABCD.A"B"C"D"):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: nơi bắt đầu trùng với giao điểm (O) của hai đường chéo (AC), (BD); hai trục (Ox,Oy) lần lượt đựng hai đường chéo của hình thoi, trục (Oz) trải qua tâm nhì đáy.

Xem thêm: Bài Thu Hoạch Bồi Dưỡng Kiến Thức Quốc Phòng An Ninh Đối Tượng 3 Năm 2018

*

B. BÀI TẬP CÓ GIẢI

Câu 1: đến tứ diện (ABCD) có những cạnh (AB,AC,AD) vuông góc nhau từng đôi một, gồm độ lâu năm (AB = 3), (AC = AD = 4). Tính khoảng cách (d) từ bỏ điểm (A) mang đến mặt phẳng (left( BCD ight))

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Dleft( 4;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,4;,0 ight)); (Bleft( 0;,0;,3 ight))

* tìm kiếm phương trình mặt phẳng (left( BCD ight)): (fracx4 + fracy4 + fracz3 = 1)hay (3x + 3y + 4z - 12 = 0)

* Tính khoảng cách (d)= (dleft< A,left( BCD ight) ight>) =(fracleftsqrt 3^2 + 3^2 + 4^2 = frac6sqrt 34 17)

Câu 2: đến tứ diện (ABCD)(AD) vuông góc với mặt phẳng (left( ABC ight)) cùng (AD = a), có tam giác (ABC) vuông tại (A) với (AC = b), (AB = c). Tính diện tích s (S) của tam giác (BCD) theo (a,b,c).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( c;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,b;,0 ight)); (Dleft( 0;,0;,a ight))

* kiếm tìm toạ độ véc tơ

· Cạnh của tam giác (BCD): (overrightarrow BC = left( - c;,b;,0 ight)), (overrightarrow BD = left( - c;,0;,a ight))

· Véctơ tích được bố trí theo hướng (left< overrightarrow BC ;overrightarrow BD ight> = left( ab;,ac;,bc ight))

* sử dụng công thức tính diện tích tam giác

·(S_BCD = frac12left| ,left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight>, ight|) =(frac12sqrt a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 )

Câu 3: mang lại tứ diện (O.ABC) có các tam giác (OAB), (OBC), (OCA) hầu như là tam giác vuông tại đỉnh (O). Call (alpha m , eta m , gamma ) thứu tự là góc phù hợp bởi những mặt phẳng (left( OBC ight)), (left( OCA ight)), (left( OAB ight)) với phương diện phẳng (left( ABC ight)). Tìm kiếm hệ thức lượng giác liên hệ giữa (alpha m , eta m , gamma ).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O(0;0;0)); (A(a;0;0)); (B(0;b;0)); (C(0;0;c)).

(overrightarrow AB = left( - a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( - a;,,0;,,c ight))

* tra cứu vectơ pháp con đường của

·Mặt phẳng (left( ABC ight)): (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left( bc;,,ca;,,ab ight))

·Mặt phẳng (left( OBC ight)): (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì: (Ox ot (OBC)))

·Mặt phẳng (left( OCA ight)): (overrightarrow j = left( 0;,,1;,,0 ight)) (vì: (Oy ot (OCA)))

·Mặt phẳng (left( OAB ight)): (overrightarrow k = left( 0;,,0;,,1 ight)) (vì: (Oz ot (OAB)))

* thực hiện công thức tính góc giữa hai khía cạnh phẳng

·(cos alpha = cos left< left( OBC ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos alpha = fracsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

·(cos eta = cos left< left( OCA ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos eta = frac ac ightsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

·Þ(cos gamma = fracsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

* biến hóa và kết luận(cos gamma = cos left< left( OAB ight),left( ABC ight) ight>)

·(cos ^2alpha = fracb^2c^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

·(cos ^2eta = fracc^2a^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

·(cos ^2gamma = fraca^2b^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

Vậy (cos ^2alpha + cos ^2eta + cos ^2gamma = 1)

Câu 4: mang đến hình chóp (SABC) có đáy (ABC) là tam giác vuông cân nặng với(AB = AC = a), tất cả (SA)vuông góc với phương diện phẳng (left( ABC ight)) với (SA = fracasqrt 2 2). Tính góc (varphi ) thân hai mặt phẳng (left( SAC ight))(left( SBC ight))

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).

* tra cứu vectơ pháp đường của

·Mặt phẳng .(left( SAC ight)).: (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì (Ox ot (SAC)))

·Mặt phẳng (left( SBC ight)): gồm cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight)), (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þvéc tơ pháp đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) giỏi là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))

* Tính góc giữa hai mặt phẳng (left( SAC ight))(left( SBC ight))

(cos varphi = frac overrightarrow i .,overrightarrow n ight,.,left = frac12)Þ(varphi = 60^o).

Câu 5: cho hình chóp (SABC) có đáy (ABC) là tam giác vuông cân nặng với(AB = AC = a), tất cả (SA)vuông góc với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)) với (SA = fracasqrt 2 2). Tính khoảng cách (d) giữa hai đường thẳng (AI) cùng (SC), cùng với (I) là trung điểm cạnh (BC).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).

(overrightarrow AB = left( a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( 0;a;0 ight))

* tìm vectơ pháp tuyến của

·Mặt phẳng (left( SAC ight)): (overrightarrow i = left( 1;0;0 ight)) (vì (Ox ot (SAC)))

·Mặt phẳng (left( SBC ight)): gồm cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight);overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þ véc tơ pháp đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) xuất xắc là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))

* Tính khoảng cách (d) giữa hai tuyến phố thẳng (AI) cùng (SC)

· vày I là trung điểm của BC Þ(Ileft( fraca2;fraca2;0 ight))nên ta có:(overrightarrow AI = left( fraca2;fraca2;0 ight)) , (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight)), (left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> = left( - fraca^2sqrt 2 4;fraca^2sqrt 2 4;fraca^22 ight)), (overrightarrow AS = left( 0;0;fracasqrt 2 2 ight))Þ(left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight>.overrightarrow AS = fraca^3sqrt 2 4) , nhưng (left| left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> ight| = sqrt fraca^48 + fraca^48 + fraca^44 = fraca^2sqrt 2 ).

· Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC là (fleft( AI,SC ight) = frac = fraca^3sqrt 2 4.fracsqrt 2 a^2 = fraca2)

Câu 6: mang đến hình chóp (O.ABC) tất cả (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng song một. Hotline M là điểm thắt chặt và cố định thuộc tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến các (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight)) là 1, 2, 3. Giá bán trị(a,b,c) nhằm thể tích khối chóp(O.ABC)nhỏ duy nhất là

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a;0;0 ight)), (Bleft( 0;b;0 ight)), (Cleft( 0;0;c ight)).

(dleft< M,left( OAB ight) ight> = 3).( Rightarrow ) . (z_M = 3).Tương từ bỏ ( Rightarrow )(Mleft( 1;,2;,3 ight)).

PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). (M in (ABC) Rightarrow frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).

(V_O.ABC = frac16abc) (2).

((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27) .

(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).

Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)

Câu 7: mang đến hình chóp tam giác đều (S.ABC) bao gồm độ nhiều năm cạnh đáy là (a). Hotline (M,N) lần lượt là là trung điểm (SB,SC). Cho thấy thêm (left( AMN ight)) vuông góc với (SBC); Tính theo (a) diện tích s (Delta AMN).

Hướng dẫn giải

*

Cách 1:

Gọi (O) là hình chiếu của (S) bên trên (left( ABC ight)), ta suy ra (O) là giữa trung tâm (Delta ABC). Gọi (I) là trung điểm của (BC), ta có: (AI = fracsqrt 3 2BC = fracasqrt 3 2)Þ(OA = fracasqrt 3 3), (OI = fracasqrt 3 6).

Trong mp(left( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc với (OA). Đặt (SO = h), chọn hệ trục tọa độ như hình mẫu vẽ ta được: (Oleft( 0; m 0; m 0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0; m 0; m h ight))

Suy ra toa độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight)), ( mMleft( - fracasqrt 3 12 m;fraca4 m;frach2 ight))(Nleft( - fracasqrt 3 12 m; - fraca4 m;frach2 ight)).

* Véctơ pháp tuyến đường mp(left( AMN ight)): (overrightarrow n __left( AMN ight) = left< overrightarrow AM ,overrightarrow AN ight>) =(left( fracah4 m;0;frac5a^2sqrt 3 24 ight)), mp(left( SBC ight)): (overrightarrow n __left( SBC ight) = left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight>) =(left( - ah m;0;fraca^2sqrt 3 6 ight)). Từ trả thiết ((AMN) ot (SBC))Þ(overrightarrow n __left( AMN ight).overrightarrow n __left( SBC ight) = 0)ÞÞ(h^2 = frac5a^212) .

* diện tích s tam giác (AMN): (S_Delta AMN = frac12left| left< overrightarrow AM , m overrightarrow AN ight> ight| = fraca^2sqrt 10 16)

Cách 2: lắp IA = Ox, IB = Oy ta có (A(fracasqrt 3 2;0;0);B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là giữa trung tâm tâm giác ABC phải (O(fracasqrt 3 6;0;0))( Rightarrow )(S(fracasqrt 3 6;0;h)) . Đến trên đây ta đo lường và tính toán như trên.

Xem thêm: Ước Mơ Của Em Là Gì - Để Thực Hiện Ước Mơ Ấy Em Sẽ Làm Gì

Câu 8: mang đến hình lăng trụ tam giác (ABC.A_1B_1C_1) gồm đáy là tam giác đầy đủ cạnh bởi (a), có(AA_1 = 2a) và vuông góc với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)). Call (D) là trung điểm của (BB_1); lấy điểm (M) cầm tay trên cạnh (AA_1). Tìm giá chỉ trị phệ nhất, nhỏ nhất của diện tích s tam giác (MC_1D).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz) sao cho (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (B in Oy): (Bleft( 0;,a;,0 ight)), (A_1 in Oz): (A_1left( 0;,0;,2a ight))Þ(C_1left( fracasqrt 3 2;,fraca2;,2a ight)) với (Dleft( 0;,a;,a ight))

Do (M) di động cầm tay trên (AA_1) tất cả tọa độ (Mleft( 0;,0;,t ight)) với (t in left< 0;,,2a ight>)

Ta có: (S_Delta DC_1M = frac12left| left< overrightarrow DC _1,overrightarrow DM ight> ight|)

(overrightarrow DC _1 = left( fracasqrt 3 2; - fraca2;a ight)), (overrightarrow DM = left( 0; - a;t - a ight))( Rightarrow left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> = )(frac - a2left( t - 3a;sqrt 3 (t - a);asqrt 3 ight))Þ(left| left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> ight| = fraca2sqrt (t - 3a)^2 + 3(t - a)^2 + 3a^2 = fraca2sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 ). (S_Delta DC_1M = frac12.fraca2.sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 )

Xét (fleft( t ight) = 4t^2 - 12at + 15a^2) với (t in left< 0;,,2a ight>). Ta gồm (f"left( t ight) = 8t - 12a) ; (f"left( t ight) = 0 Leftrightarrow t = frac3a2)

Giá trị lớn nhất của hàm số có được khi (t = 0)(left( M equiv A ight)), vậy GTLN của diện tích s là (S_MC_1D = fraca^2sqrt 15 4)