Ma trận nghịch đảo cấp 2

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):


1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cung cấp n

Ta phân biệt ma trận bên trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa đk trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, đưa sử có hai ma trận đơn vị chức năng I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I


Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cung cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như tồn tại một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc đó, B được hotline là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo cấp 2

Bạn sẽ xem: Ma trận nghịch đảo cấp 2


Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 dấn xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, do giả sử mãi sau ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1


3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay tại, có không ít giáo trình nước ngoài đã đề cập mang lại khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cung cấp m x n bên trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, đương nhiên A khả nghịch nếu như A khả nghịch trái với khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cung cấp n trên K khả nghịch, được cam kết hiệu là GLn(K).

1.4 những ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Bởi vì đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp cho 2 ta rất nhiều có:


*

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 loại không (hoặc cột không) phần nhiều không khả nghịch.

Xem thêm: Soạn Sinh Lớp 7 Bài 14 - Lý Thuyết Sinh 7: Bài 14

2. Tính chất:

1. Nếu như A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Ví như A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng tỏ kết quả trên nhé)

3. Quan hệ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2) được điện thoại tư vấn là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) nếu E nhận được từ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phép đổi khác sơ cấp dòng (cột). Những ma trận sơ cấp mẫu hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: số đông ma trận sơ cấp loại (hay cột) phần đa khả nghịch với nghịch đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cấp cho dòng.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp công dụng trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 chiếc của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2


Ma trận sơ cấp cho dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy từ A bởi một số hữu hạn các phép chuyển đổi sơ cấp chiếc (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc rất có thể xem chứng tỏ định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch khi còn chỉ khi dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Giả dụ A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một vài hữu hạn các phép thay đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chủ yếu dãy các phép biến đổi sơ cấp loại (cột) này sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch hòn đảo bằng phép biến hóa sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n bên trên K. Thuật toán này được kiến tạo dựa vào công dụng thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào bên đề nghị ma trận A


Lập ma trận bỏ ra khối cấp n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho dòng để đưa về dạng , trong số đó A’ là 1 ma trận bậc thang chủ yếu tắc.

Xem thêm: Bài 52 Trang 101 Sgk Toán 7 Bài 52 Trang 101 Sgk Toán 7 Tập 1

– trường hợp A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– ví như A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong thừa trình biến hóa nếu A’ xuất hiện thêm ít độc nhất vô nhị 1 loại không thì lập tức tóm lại A ko khả nghịch (không cần được đưa A’ về dạng bao gồm tắc) và ngừng thuật toán.

Ví dụ minh họa: thực hiện thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch đảo của: