TÌM CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

     

Định nghĩa1: Một hàm được đến là bao gồm cực đại toàn cục tại một điểm giả dụ tồn trên một vùng lân cận của điểm sao cho bất kỳ điểm như thế nào M với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường vừa lòng này, có nghĩa là số gia của hàmĐịnh nghĩa2: Một hàm được mang đến là có cực tiểu toàn thể tại một điểm giả dụ tồn trên một vùng bên cạnh của điểm sao cho ngẫu nhiên điểm nào M cùng với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường hợp này, tức là số gia của hàm> 0.

Bạn đang xem: Tìm cực trị có điều kiện

Định nghĩa 3: Điểm buổi tối thiểu với điểm tối đa toàn thể được gọi là vấn đề cực trị.

Cực trị bao gồm điều kiện

Khi search kiếm rất trị của một hàm nhiều biến, các vấn đề thường xuyên nảy sinh liên quan đến mẫu gọi là cực trị có điều kiện. Có mang này có thể được giải thích bằng lấy ví dụ như về một hàm nhì biến.

Cho một hàm với một dòng được mang đến trước L trên mặt phẳng 0xy. Trọng trách là xếp hàng L search một điểm như vậy phường (x, y), trong những số đó giá trị của hàm lớn số 1 hoặc nhỏ dại nhất so với những giá trị của hàm này tại những điểm thuộc đoạn thẳng L nằm ngay sát điểm p. Điểm vì vậy P tập trung điểm rất trị bao gồm điều kiện tính năng dòng L. Không giống hệt như điểm cực trị thông thường, quý hiếm hàm tại điểm cực trị có điều kiện được đối chiếu với những giá trị hàm không hẳn tại tất cả các điểm của một vài vùng cạnh bên của nó, mà chỉ ở phần đa điểm nằm trê tuyến phố L.

Rõ ràng là quan điểm của thái cực thông thường (họ cũng nói cực đoan vô điều kiện) cũng là một trong điểm rất trị có điều kiện cho ngẫu nhiên đường trực tiếp nào trải qua điểm này. Vớ nhiên, ngược lại là không đúng: một điểm rất trị gồm điều kiện có thể không phải là một trong điểm cực trị thông thường. Hãy nhằm tôi giải thích điều này bằng một ví dụ đối kháng giản. Đồ thị của hàm số là bán cầu trên (Phụ lục 3 (Hình 3)).

*

Hàm này còn có giá trị cực lớn tại điểm gốc; nó tương ứng với đầu M chào bán cầu. Nếu cái L tất cả một con đường thẳng đi qua những điểm NHƯNG với TẠI(phương trình của cô ấy ấy x + y-1 = 0), thì cụ thể về phương diện hình học rằng đối với các điểm của đường thẳng này, giá trị lớn nhất của hàm đạt được tại điểm nằm tại giữa giữa những điểm NHƯNG và TẠI.Đây là vấn đề cực trị có điều kiện (cực đại) của hàm trên chiếc cho trước; nó tương ứng với điểm M 1 trên chào bán cầu, và có thể thấy từ hình vẽ rằng thiết yếu có bất kỳ điểm cực trị thông thường nào sinh sống đây.

*

Lưu ý rằng vào phần ở đầu cuối của vấn đề tìm giá bán trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm trong một vùng đóng, họ phải tìm những giá trị rất trị của hàm bên trên biên của vùng này, tức là. Trên một số trong những dòng, và vì đó giải quyết vấn đề cho một cực trị tất cả điều kiện.

Bây giờ họ hãy thực hiện tìm kiếm những điểm rất trị có điều kiện của hàm Z = f (x, y) với điều kiện những biến x cùng y bao gồm quan hệ với nhau bởi phương trình (x, y) = 0. Mối quan hệ này sẽ là được điện thoại tư vấn là phương trình ràng buộc. Giả dụ từ phương trình liên kết y có thể được biểu hiện rõ ràng theo x: y u003d (x), họ nhận được một hàm của một vươn lên là Z u003d f (x, (x)) u003d Ф (x).

Sau khi tìm thấy quý giá của x mà tại kia hàm này đạt rất trị và sau đó xác định các giá trị tương xứng của y từ bỏ phương trình kết nối, bọn họ sẽ thu được các điểm mong muốn của cực trị bao gồm điều kiện.

Vì vậy, trong lấy ví dụ trên, trường đoản cú phương trình truyền x + y-1 = 0, họ có y = 1-x. Trường đoản cú đây

Dễ dàng khám nghiệm rằng z đạt cực lớn tại x = 0,5; nhưng tiếp nối từ phương trình liên kết y = 0,5, và shop chúng tôi nhận được chính xác điểm P, được tìm thấy từ những xem xét hình học.

Bài toán cực trị có điều kiện được giải rất dễ dàng và đơn giản ngay cả lúc phương trình ràng buộc hoàn toàn có thể được màn trình diễn bằng những phương trình thông số x = x (t), y = y (t). Thay các biểu thức x cùng y vào hàm này, họ lại mang lại với câu hỏi tìm cực trị của hàm một biến.

Nếu phương trình ràng buộc gồm dạng phức tạp hơn và chúng ta không thể biểu thị rõ ràng một phát triển thành này theo vươn lên là khác, hoặc thay thế nó bởi phương trình tham số, thì việc tìm điểm rất trị có đk sẽ trở nên trở ngại hơn. Chúng ta sẽ tiếp tục giả sử rằng trong biểu thức của hàm z = f (x, y) đổi thay (x, y) = 0. Đạo hàm toàn phần của hàm z = f (x, y) bằng:

Đạo hàm y` sinh hoạt đâu, được tìm kiếm thấy theo quy tắc phân biệt của hàm ẩn. Tại các điểm của rất trị bao gồm điều kiện, đạo hàm toàn phần tìm kiếm được phải bởi 0; vấn đề đó cho ta một phương trình tương quan đến x cùng y. Bởi chúng cũng phải vừa lòng phương trình ràng buộc nên ta nhận được một hệ nhị phương trình với nhì ẩn số

Hãy thay đổi hệ thống này thành một hệ thống dễ dàng hơn nhiều bằng phương pháp viết phương trình trước tiên dưới dạng phần trăm và đưa vào một trong những ẩn số phụ mới:

*

(phía trước bao gồm đặt vệt trừ nhằm tiện theo dõi). Rất có thể dễ dàng chuyển từ những giá trị bởi này sang hệ thống sau:

f` x = (x, y) + `x (x, y) = 0, f` y (x, y) +` y (x, y) = 0 (*),

mà cùng rất phương trình ràng buộc (x, y) = 0, tạo thành một hệ ba phương trình với các ẩn số x, y và.

Các phương trình (*) này dễ dàng nhớ nhất bằng phương pháp sử dụng phép tắc sau: nhằm tìm những điểm rất có thể là điểm cực trị có điều kiện của hàm

Z = f (x, y) với phương trình buộc ràng (x, y) = 0, bạn phải tạo một hàm phụ

F (x, y) = f (x, y) + (x, y)

Hằng số chỗ nào và viết phương trình để tìm các điểm cực trị của hàm số này.

Theo quy luật, hệ phương trình được chỉ định chỉ cung ứng các điều kiện cần thiết, có nghĩa là không phải mọi cặp cực hiếm x cùng y thỏa mãn hệ thức này đều là một trong điểm cực trị tất cả điều kiện. Tôi sẽ không còn đưa ra những điều kiện tương đối đầy đủ cho các điểm rất trị tất cả điều kiện; rất thường nội dung cụ thể của sự việc tự nó lưu ý điểm tìm kiếm được là gì. Nghệ thuật được biểu thị để giải các bài toán cho 1 cực trị có đk được call là cách thức nhân Lagrange.

Đầu tiên bọn họ hãy để mắt tới trường thích hợp của một hàm hai biến. Cực trị có đk của hàm $ z = f (x, y) $ tại điểm $ M_0 (x_0; y_0) $ là cực trị của hàm này, đã có được với điều kiện là các biến $ x $ và $ y $ vào vùng kề bên của điểm này thỏa mãn phương trình buộc ràng $ varphi (x, y) = 0 $.

Tên cực trị "có điều kiện" là do điều kiện bổ sung cập nhật $ varphi (x, y) = 0 $ được áp dụng cho các biến. Nếu có thể biểu diễn một phát triển thành dưới dạng khác từ phương trình kết nối, thì bài xích toán khẳng định cực trị có đk được rút gọn gàng thành bài toán về rất trị thông thường của hàm một biến. Ví dụ: trường hợp $ y = psi (x) $ theo sau từ phương trình ràng buộc, sau đó thay $ y = psi (x) $ thành $ z = f (x, y) $, bọn họ nhận được một hàm của một đổi thay $ z = f left (x, psi (x) right) $. Mặc dù nhiên, vào trường hợp chung, cách thức này không nhiều được sử dụng, vì chưng vậy cần được có một thuật toán mới.

Phương pháp nhân Lagrange cho hàm hai biến.

Phương pháp của nhân Lagrange là để tìm cực trị bao gồm điều kiện, hàm Lagrange được cấu tạo: $ F (x, y) = f (x, y) + lambda varphi (x, y) $ (tham số $ lambda $ được gọi là số nhân Lagrange). Các điều kiện rất đại quan trọng được đưa ra bởi một hệ phương trình nhưng từ đó những điểm đứng yên được xác định:

$$ left ( begin (căn chỉnh) và frac ( một phần F) ( 1 phần x) = 0; \ và frac ( 1 phần F) ( một phần y) = 0; \ & varphi (x, y) = 0. end (căn chỉnh) phải. $$

Kí hiệu $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. Ví như tại điểm đứng yên ổn $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm $ z = f (x, y) $ có điều kiện cực tiểu tại điểm này, cơ mà nếu $ d ^ 2F 0 $ thì $ d ^ 2F$ 0, tức là họ có điều kiện tối thiểu của hàm $ z = f (x, y) $.

Lưu ý về dạng của định thức $ H $. Hiện tại an

$$ H = - left | begin (array) (ccc) 0 và varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") và F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") over (array) right | $$

Trong trường hòa hợp này, phép tắc được thiết kế ở trên chuyển đổi như sau: nếu $ H> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu và so với $ HSoạn hàm Lagrange $ F (x, y) = f (x, y) + lambda varphi (x, y) $Giải khối hệ thống $ left ( begin (căn chỉnh) và frac ( 1 phần F) ( 1 phần x) = 0; \ & frac ( một trong những phần F) ( một phần y) = 0; \ & varphi (x, y) = 0. end (căn chỉnh) phải. $Xác định bản chất của cực trị tại mỗi điểm đứng im trong đoạn trước. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng ngẫu nhiên phương pháp như thế nào sau đây: biên soạn định thức $ H $ với tìm tín hiệu của nóTính cho phương trình ràng buộc, hãy tính dấu của $ d ^ 2F $

Phương pháp nhân Lagrange cho những hàm của n biến

Giả sử họ có một hàm tất cả $ n $ các biến $ z = f (x_1, x_2, ldots, x_n) $ và các phương trình buộc ràng $ m $ ($ n> m $):

$$ varphi_1 (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0; U0026quot; varphi_2 (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, ldots, varphi_m (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0. $$

Ký hiệu những số nhân Lagrange là $ lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, shop chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x_1, x_2, ldots, x_n, lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m) ​​= f + lambda_1 varphi_1 + lambda_2 varphi_2 + ldots + lambda_m varphi_m $$

Các điều kiện quan trọng để trường tồn một điểm cực trị có điều kiện được gửi ra vì một hệ phương trình mà lại từ kia tọa độ của những điểm đứng yên và những giá trị của nhân Lagrange được tra cứu thấy:

$$ left ( begin (căn chỉnh) và frac ( một trong những phần F) ( một trong những phần x_i) = 0; (i = overline (1, n)) \ và varphi_j = 0; (j = overline (1, m)) over (căn chỉnh) phải. $$

Có thể tìm hiểu xem một hàm có mức giá trị rất tiểu có đk hay cực to có đk tại điểm tìm kiếm được, như trước đây, bằng phương pháp sử dụng vết $ d ^ 2F $. Ví như tại điểm tìm được $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu, nhưng mà nếu $ d ^ 2FNếu các dấu hiệu của trẻ vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), ; những ma trận H_ (2m + 2), ldots, H_ (m + n) $ $ L $ trùng với lốt của $ (- 1) ^ m $ thì điểm dừng vẫn nghiên cứu là điểm cực tiểu có đk của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, ldots, x_n) $.Nếu các dấu hiệu của con trẻ vị thành niên ở góc cạnh là $ H_ (2m + 1), ; H_ (2m + 2), ldots, H_ (m + n) $ thay thế sửa chữa và vệt của $ H_ (2m + 1) $ trùng với vết của số $ (- 1) ^ (m + 1 ) $, thì trạm dừng được nghiên cứu và phân tích là điểm cực to có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, ldots, x_n) $.

Ví dụ 1

Tìm rất trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = x + 3y $ với đk $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Giải hình học tập của việc này như sau: yêu ước tìm giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ nhất của áp dụng của khía cạnh phẳng $ z = x + 3y $ cho các giao điểm của chính nó với hình tròn trụ $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Hơi khó để biểu lộ một biến chuyển này theo trở thành khác từ phương trình ràng buộc và thay thế sửa chữa nó vào hàm $ z (x, y) = x + 3y $, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng cách thức Lagrange.

Ký hiệu $ varphi (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $, công ty chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x, y) = z (x, y) + lambda varphi (x, y) = x + 3y + lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \ frac ( 1 phần F) ( một phần x) = 1 + 2 lambda x; frac ( một trong những phần F) ( 1 phần y) = 3 + 2 lambda y. $$

Hãy thuộc viết hệ phương trình xác định điểm đứng lặng của hàm Lagrange:

$$ left ( begin (căn chỉnh) và 1 + 2 lambda x = 0; \ và 3 + 2 lambda y = 0; \ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. over (căn chỉnh) phải. $$

Nếu bọn họ giả sử $ lambda = 0 $, thì phương trình trước tiên trở thành: $ 1 = 0 $. Công dụng là xích míc nói rằng $ lambda neq 0 $. Với đk $ lambda neq 0 $, tự phương trình thứ nhất và sản phẩm công nghệ hai, bọn họ có: $ x = - frac (1) (2 lambda) $, $ y = - frac (3) (2 lambda) $. Thay những giá trị nhận được vào phương trình máy ba, ta được:

$$ left (- frac (1) (2 lambda) right) ^ 2 + left (- frac (3) (2 lambda) right) ^ 2-10 = 0; \ frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; lambda ^ 2 = frac (1) (4); left < begin (căn chỉnh) & lambda_1 = - frac (1) (2); \ và lambda_2 = frac (1) (2). kết thúc (căn chỉnh) phải. \ begin (căn chỉnh) và lambda_1 = - frac (1) (2); U0026quot; x_1 = - frac (1) (2 lambda_1) = 1; U0026quot; y_1 = - frac (3) (2 lambda_1) = 3; \ & lambda_2 = frac (1) (2); U0026quot; x_2 = - frac (1) (2 lambda_2) = - 1; U0026quot; y_2 = - frac (3) (2 lambda_2) = - 3. kết thúc (căn chỉnh) $$

Vậy hệ bao gồm hai nghiệm: $ x_1 = 1; ; y_1 = 3; ; lambda_1 = - frac (1) (2) $ với $ x_2 = -1; ; y_2 = -3; ; lambda_2 = frac (1) (2) $. Bọn họ hãy tra cứu ra tính chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên: $ M_1 (1; 3) $ cùng $ M_2 (-1; -3) $. Để làm cho điều này, công ty chúng tôi tính định thức $ H $ tại mỗi điểm.

$$ varphi_ (x) ^ (") = 2x; ; varphi_ (y) ^ (") = 2y; ; F_ (xx) ^ ("") = 2 lambda; ; F_ (xy) ^ ("") = 0; ; F_ (yy) ^ ("") = 2 lambda. \ H = left | begin (array) (ccc) 0 & varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") và F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") và F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") kết thúc (array) right | = trái | begin (array) (ccc) 0 và 2x và 2y \ 2x & 2 lambda & 0 \ 2y & 0 và 2 lambda over (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 & x và y \ x và lambda và 0 \ y và 0 và lambda kết thúc (array) right | $$

Tại điểm $ M_1 (1; 3) $ ta dấn được: $ H = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x và y \ x & lambda và 0 \ y & 0 và lambda end (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và 1 & 3 \ 1 & -1/2 & 0 \ 3 & 0 & -1/2 kết thúc (array) right | = 40> 0 $, vày vậy tại thời điểm $ M_1 (1; 3) $ hàm $ z (x, y) = x + 3y $ có điều kiện tối nhiều là $ z _ ( max) = z (1; 3) = 10 $.

Tương tự, trên điểm $ M_2 (-1; -3) $ họ tìm thấy: $ H = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x và y \ x & lambda và 0 \ y & 0 & lambda kết thúc (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và -1 & -3 \ -1 & 1/2 & 0 \ -3 & 0 & 1/2 over (array) right | = -40 $. Kể từ lúc $ H 0 $. Vì đó, lốt của $ H $ ngược với vết của $ lambda $. Chúng ta có thể hoàn thành các phép tính:

$$ begin (căn chỉnh) & H (M_1) = - 8 cdot left (- frac (1) (2) right) cdot left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 right) = 40; & H (M_2) = - 8 cdot frac (1) (2) cdot left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 right) = - 40. kết thúc (căn chỉnh) $$

Câu hỏi về đặc điểm của rất trị tại các điểm đứng im $ M_1 (1; 3) $ và $ M_2 (-1; -3) $ rất có thể được giải mà không cần thực hiện định thức $ H $. Tìm vệt của $ d ^ 2F $ tại từng điểm đứng yên:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 lambda left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 right) $$

Tôi để ý rằng ký kết hiệu $ dx ^ 2 $ tất cả nghĩa là đúng mực $ dx $ được nâng lên lũy thừa vật dụng hai, có nghĩa là $ left (dx right) ^ 2 $. Vì chưng đó bọn họ có: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $, vày vậy cùng với $ lambda_1 = - frac (1) (2) $, bọn họ nhận được $ d ^ 2FTrả lời: trên điểm $ (- 1; -3) $ hàm bao gồm điều kiện bé dại nhất, $ z _ ( min) = - 10 $. Tại điểm $ (1; 3) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ ( max) = 10 $

Ví dụ số 2

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ với điều kiện $ x + y = 0 $.

Cách đầu tiên (phương pháp nhân Lagrange)

Ký hiệu $ varphi (x, y) = x + y $, chúng ta soạn hàm Lagrange: $ F (x, y) = z (x, y) + lambda varphi (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + lambda (x + y) $.

$$ frac ( 1 phần F) ( một trong những phần x) = 8x-y + lambda; U0026quot; frac ( một trong những phần F) ( một trong những phần y) = 9y ^ 2-x + lambda. \ left ( begin (căn chỉnh) & 8x-y + lambda = 0; \ và 9y ^ 2-x + lambda = 0; \ & x + y = 0. over (căn chỉnh) phải. $$

Giải hệ, ta được: $ x_1 = 0 $, $ y_1 = 0 $, $ lambda_1 = 0 $ và $ x_2 = frac (10) (9) $, $ y_2 = - frac (10) (9 ) $, $ lambda_2 = -10 $. Họ có nhị điểm đứng yên: $ M_1 (0; 0) $ và $ M_2 left ( frac (10) (9); - frac (10) (9) right) $. Bọn họ hãy tìm bản chất của rất trị tại từng điểm đứng yên bằng cách sử dụng định thức $ H $.

$$ H = left | begin (array) (ccc) 0 & varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") và F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") và F_ (yy) ^ (" ") end (array) right | = trái | begin (array) (ccc) 0 và 1 & 1 \ 1 và 8 & -1 \ 1 và -1 & 18y over (array) right | = -10-18y $$

Tại điểm $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 cdot 0 = -100 $, bởi vậy tại thời khắc này, hàm có điều kiện tối đa, $ z _ ( max) = frac (500) (243) $.

Chúng tôi điều tra bản chất của cực trị tại mỗi điểm bằng một phương pháp khác nhau, dựa trên dấu của $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

Từ phương trình buộc ràng $ x + y = 0 $ ta có: $ d (x + y) = 0 $, $ dx + dy = 0 $, $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

Vì $ d ^ 2F Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ cần $ M_1 (0; 0) $ là điểm cực tè có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. Tương tự, $ d ^ 2F Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2 0 $ đề xuất $ M_1 $ là điểm bé dại nhất của hàm $ u (x) $, trong những lúc $ u _ ( min) = u (0) = 0 $. Vì $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)Trả lời: tại điểm $ (0; 0) $ hàm có đk tối thiểu, $ z _ ( min) = 0 $. Tại điểm $ left ( frac (10) (9); - frac (10) (9) right) $ hàm có đk tối đa, $ z _ ( max) = frac (500) (243 ) $.

Hãy cẩn thận thêm một ví dụ, trong đó bọn họ tìm ra thực chất của cực trị bằng cách xác định lốt của $ d ^ 2F $.

Ví dụ # 3

Tìm giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $ z = 5xy-4 $ nếu những biến $ x $ cùng $ y $ dương và thỏa mãn nhu cầu phương trình ràng buộc $ frac (x ^ 2) (8) + frac ( y ^ 2) (2) -1 = 0 $.

Xem thêm: Anh Văn 7 Unit 11 A Closer Look 1 1 A Closer Look 1, Unit 11 Lớp 7: A Closer Look 1

Soạn hàm Lagrange: $ F = 5xy-4 + lambda left ( frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 right) $. Tìm những điểm đứng yên ổn của hàm Lagrange:

$$ F_ (x) ^ (") = 5y + frac ( lambda x) (4); ; F_ (y) ^ (") = 5x + lambda y. \ left ( begin (căn chỉnh) & 5y + frac ( lambda x) (4) = 0; \ & 5x + lambda y = 0; \ và frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0; \ và x> 0; ; y> 0. end (căn chỉnh) phải. $$

Tất cả những phép đổi khác tiếp theo được tiến hành có tính mang đến $ x> 0; U0026quot; y> 0 $ (điều này được chế độ trong điều kiện của bài bác toán). Từ bỏ phương trình thứ hai, bọn chúng ta thể hiện $ lambda = - frac (5x) (y) $ và ráng giá trị tìm kiếm được vào phương trình máy nhất: $ 5y- frac (5x) (y) cdot frac (x) ( 4) = 0 $, $ 4y ^ 2-x ^ 2 = 0 $, $ x = 2y $. Thay $ x = 2y $ vào phương trình thứ ba, ta được: $ frac (4y ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, $ y ^ 2 = 1 $, $ y = 1 $.

Vì $ y = 1 $ phải $ x = 2 $, $ lambda = -10 $. đặc thù của điểm cực trị trên điểm $ (2; 1) $ được xác minh theo vết của $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = frac ( lambda) (4); U0026quot; F_ (xy) ^ ("") = 5; U0026quot; F_ (yy) ^ ("") = lambda. $$

Vì $ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, nên:

$$ d left ( frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 right) = 0; U0026quot; d left ( frac (x ^ 2) (8) right) + d left ( frac (y ^ 2) (2) right) = 0; U0026quot; frac (x) (4) dx + ydy = 0; U0026quot; dy = - frac (xdx) (4y). $$

Về nguyên tắc, sinh sống đây bạn cũng có thể thay tức thì tọa độ của điểm dừng $ x = 2 $, $ y = 1 $ cùng tham số $ lambda = -10 $, cho nên thu được:

$$ F_ (xx) ^ ("") = frac (-5) (2); U0026quot; F_ (xy) ^ ("") = - 10; U0026quot; dy = - frac (dx) (2). \ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx cdot left (- frac (dx) (2) right) -10 cdot left (- frac (dx) (2) right) ^ 2 = \ = - frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

Tuy nhiên, trong các bài toán khác đối với điểm rất trị bao gồm điều kiện, hoàn toàn có thể có một số điểm đứng yên. Giữa những trường thích hợp như vậy, xuất sắc hơn là trình diễn $ d ^ 2F $ làm việc dạng tổng quát, và kế tiếp thay nuốm tọa độ của từng điểm đứng yên tìm được vào biểu thức kết quả:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = frac ( lambda) (4) dx ^ 2 + 10 cdot dx cdot frac (-xdx) (4y) + lambda cdot left (- frac (xdx) (4y) right) ^ 2 = \ = frac ( lambda) (4) dx ^ 2- frac (5x) (2y) dx ^ 2 + lambda cdot frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = left ( frac ( lambda ) (4) - frac (5x) (2y) + frac ( lambda cdot x ^ 2) (16y ^ 2) right) cdot dx ^ 2 $$

Thay $ x = 2 $, $ y = 1 $, $ lambda = -10 $, ta được:

$$ d ^ 2 F = left ( frac (-10) (4) - frac (10) (2) - frac (10 cdot 4) (16) right) cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

Vì $ d ^ 2F = -10 cdot dx ^ 2Trả lời: tại điểm $ (2; 1) $ hàm có đk tối đa, $ z _ ( max) = 6 $.

Trong phần tiếp theo, bọn họ sẽ coi xét câu hỏi áp dụng phương pháp Lagrange cho những hàm có con số biến mập hơn.

Ví dụ

Tìm cực trị của hàm với điều kiện X và tại có liên quan với nhau theo tỷ lệ:. Về khía cạnh hình học, vấn đề có nghĩa như sau: trên một hình elip

*
*
chiếc máy bay
*
*
.

*

Vấn đề này có thể được giải quyết và xử lý như sau: trường đoản cú phương trình

*
tìm thấy
*
X:

*
miễn là
*
, rút ​​gọn thành việc tìm rất trị của hàm một biến, bên trên đoạn
*
.

Về khía cạnh hình học, vụ việc có nghĩa như sau: trên một hình elip

*
thu được bằng phương pháp vượt qua hình tròn
*
chiếc máy cất cánh
*
, nó được yêu cầu để tìm giá trị về tối đa hoặc về tối thiểu của áp dụng
*
(Hình 9). Sự việc này hoàn toàn có thể được giải quyết như sau: từ phương trình
*
tìm thấy
*
. Rứa giá trị tìm được của y vào phương trình khía cạnh phẳng, ta được một hàm một biến hóa X:

Như vậy, việc tìm cực trị của hàm số

*
miễn là
*
, rút ​​gọn thành việc tìm rất trị của hàm một biến hóa trên một đoạn.

Cho nên, vụ việc tìm một điểm rất trị gồm điều kiện là bài toán tìm điểm cực trị của hàm phương châm

*
, với điều kiện là các biến X với tại chịu sự giảm bớt
*
triệu tập phương trình kết nối.

Chúng tôi sẽ nói rằng vết chấm

*
, thỏa mãn nhu cầu phương trình ràng buộc, là 1 điểm về tối đa gồm điều kiện toàn thể (tối thiểu) nếu tất cả một khu phố
*
như vậy cho bất kỳ điểm nào
*
, tọa độ của nó thỏa mãn nhu cầu phương trình ràng buộc, thì bất đẳng thức đó.

Nếu từ bỏ phương trình giao tiếp hoàn toàn có thể tìm được biểu thức mang lại tại, sau đó, cố biểu thức này vào hàm ban đầu, chúng tôi biến biểu thức sau thành một hàm phức của một đổi mới X.

Phương pháp phổ biến để giải bài toán cực trị có đk là cách thức số nhân Lagrange. Hãy sinh sản một công dụng bổ trợ, trong những số ấy

*
─ một số. Công dụng này được điện thoại tư vấn là Hàm Lagrange, một
*
─ thông số nhân Lagrange. Do đó, việc tìm điểm rất trị có đk đã được rút gọn gàng thành việc tìm điểm cực trị toàn bộ cho hàm Lagrange. Để tìm các điểm bao gồm cực trị, đề nghị giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn số. X, y và.

*

Sau đó, bạn ta nên thực hiện điều kiện cực to đủ sau đây.

LÝ THUYẾT.Gọi điểm là điểm cực trị có thể có của hàm Lagrange. Chúng tôi giả định rằng trong vùng lân cận của điểm

*
có những đạo hàm riêng cung cấp hai thường xuyên của các hàm
*
*
. Chứng tỏ

Sau đó nếu

*
, sau đó
*
─ điểm rất trị có điều kiện của hàm
*
tại phương trình ràng buộc
*
trong lúc đó, nếu như
*
, kế tiếp
*
─ điểm buổi tối thiểu bao gồm điều kiện, nếu như
*
, tiếp nối
*
─ điểm buổi tối đa bao gồm điều kiện.

§tám. Gradient và đạo hàm gồm hướng

Để công dụng

*
được khẳng định trong một số trong những miền (mở). Xem xét ngẫu nhiên điểm làm sao
*
khu vực này và ngẫu nhiên đường thẳng có hướng nào (trục)
*
đi qua đặc điểm này (Hình 1). Để mang lại được
*
- một số điểm khác của trục này,
*
- độ nhiều năm của đoạn thân
*
*
, được thực hiện với một vệt cộng, ví như hướng
*
trùng với vị trí hướng của trục
*
và có dấu trừ nếu hướng của chúng ngược nhau.

*

Để mang đến được

*
tiếp cận vô thời hạn
*
. Giới hạn

*

triệu tập đạo hàm hàm

*
đối với
*
(hoặc dọc theo trục
*
) cùng được cam kết hiệu như sau:

*
.

Đạo hàm này đặc thù cho "tốc độ vậy đổi" của hàm tại điểm

*
đối với
*
. Đặc biệt, và các đạo hàm riêng thông thường
*
,
*
cũng hoàn toàn có thể được xem như là phái sinh "đối với việc chỉ đạo".

Giả sử hiện giờ hàm

*
có các đạo hàm riêng liên tiếp trong vùng vẫn xét. Để trục
*
tạo thành những góc với những trục tọa độ
*
*
. Theo những giả thiết được chuyển ra, đạo hàm được bố trí theo hướng
*
tồn tại với được bộc lộ bằng công thức

*
.

Nếu vectơ

*
được cấu hình thiết lập bởi tọa độ của nó
*
, thì đạo hàm của hàm
*
theo hướng của vectơ
*
có thể được tính bằng công thức:

*
.

Vectơ có tọa độ

*
triệu tập vector gradient chức năng
*
tại điểm
*
. Vectơ gradient cho biết thêm hướng tăng nhanh nhất của hàm trên một điểm cho trước.

Ví dụ

Cho một hàm, một điểm A (1, 1) cùng một vectơ

*
. Tìm: 1) grad z trên điểm A; 2) đạo hàm trên điểm A theo vị trí hướng của vectơ
*
.

Đạo hàm từng phần của một hàm đã mang đến tại một điểm

*
:

;

*
.

Khi kia vectơ gradient của hàm trên thời đặc điểm này là:

*
. Vectơ gradient cũng có thể được viết bằng cách sử dụng không ngừng mở rộng vectơ
*
*
:

*
. Đạo hàm hàm
*
theo hướng của vectơ
*
:

Cho nên,

*
,
*
.◄

Điều kiện nên và đủ nhằm hàm số đạt cực trị nhì biến. Một điểm được gọi là điểm cực tè (cực đại) của hàm số giả dụ trong một bên cạnh nào kia của hàm số đó xác minh và thỏa mãn nhu cầu bất đẳng thức (tương ứng, điểm cực đại và rất tiểu được gọi là vấn đề cực trị của hàm số).

Một điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị. Nếu như tại điểm cực trị, hàm có những đạo hàm riêng đầu tiên, thì chúng mất tích tại điểm này. Sau đó, để tìm các điểm rất trị của một hàm số đó, tín đồ ta đề xuất giải hệ phương trình. Những điểm bao gồm tọa độ thỏa mãn hệ thức này được gọi là những điểm tới hạn của hàm số. Trong những đó hoàn toàn có thể có điểm buổi tối đa, điểm về tối thiểu, cũng như các điểm không phải là vấn đề cực trị.

Các đk cực hạn đầy đủ được thực hiện để chọn điểm cực trị từ tập hợp các điểm cho tới hạn với được liệt kê bên dưới đây.

Để hàm số có đạo hàm riêng cấp cho hai liên tục tại điểm tới hạn. Trường hợp tại thời điểm này,

điều kiện, thì nó là 1 trong điểm cực tiểu tại cùng một điểm cực lớn tại. Giả dụ tại một điểm tới hạn, thì nó không phải là một trong những điểm cực trị. Trong trường phù hợp này, rất cần phải có một phân tích tinh tế rộng về bản chất của điểm tới hạn, trong trường phù hợp này có thể có hoặc ko phải là vấn đề cực trị.

Cực trị của hàm tía biến. trong trường thích hợp một hàm tía biến, các định nghĩa về điểm cực trị lặp lại nguyên văn những định nghĩa khớp ứng cho một hàm nhị biến. Chúng tôi giới hạn bản thân để trình diễn quy trình nghiên cứu một hàm cho 1 điểm rất trị. Giải hệ phương trình, người ta bắt buộc tìm những điểm tới hạn của hàm, kế tiếp tại từng điểm tới hạn đo lường và thống kê các đại lượng

Nếu cả tía đại lượng các dương thì điểm cho tới hạn đang xét là vấn đề cực tiểu; nếu thì điểm cho tới hạn đang cho là điểm tối đa.

Cực trị có đk của một hàm hai biến.Điểm được gọi là vấn đề cực đái (cực đại) có đk của hàm, với đk là có một kề bên của điểm nhưng tại đó hàm được xác định và trong các số đó (tương ứng) với toàn bộ các điểm bao gồm tọa độ vừa lòng phương trình

Để tìm những điểm cực trị có điều kiện, hãy sử dụng hàm Lagrange

trong kia số được call là số nhân Lagrange. Giải hệ ba phương trình

*

tìm các điểm tới hạn của hàm Lagrange (cũng như quý hiếm của thông số phụ A). Tại đều điểm tới hạn này, rất có thể có một cực trị gồm điều kiện. Hệ thức trên chỉ chuyển ra các điều kiện cần thiết cho một điểm rất trị, nhưng chưa đủ: nó có thể được thỏa mãn nhu cầu bởi tọa độ của những điểm ko phải là điểm của một điểm rất trị tất cả điều kiện. Mặc dù nhiên, tiến hành từ bản chất của vấn đề, thường hoàn toàn có thể xác lập thực chất của điểm cho tới hạn.

Xem thêm: Bài Văn Miêu Tả Hàng Phượng Vĩ Và Tiếng Ve Kêu Mùa Hè Hay Nhất

Cực trị có điều kiện của một hàm những biến. Hãy lưu ý một hàm của những biến với đk rằng bọn chúng có liên quan với nhau bằng những phương trình